Pendugaan Fungsi Ragam Pada Proses Poisson Periodik Majemuk

Abstract

Proses stokastik mempunyai peranan penting dalam memodelkan berbagai fenomena nyata. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik adalah proses Poisson majemuk. Banyak fenomena dalam berbagai bidang yang telah dimodelkan sebagai suatu proses Poisson majemuk, antara lain fenomena di bidang asuransi dan keuangan, fisika, dan demografi. Pengembangan model proses Poisson majemuk dapat dilakukan dengan memperumum proses Poisson yang digunakan. Salah satunya adalah dengan menggunakan proses Poisson periodik, sehingga modelnya menjadi proses Poisson periodik majemuk. Ada tiga tujuan dalam penelitian ini, yaitu: (1) merumuskan penduga bagi fungsi ragam pada proses Poisson periodik majemuk, (2) menganalisis kekonsistenan penduga, dan (3) menganalisis bias, ragam, dan mean squared error (MSE) penduga. Misalkan * ( ) + adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan fungsi intensitas yang terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas diasumsikan berupa fungsi periodik dengan periode (diketahui) . Fungsi intensitas tidak diasumsikan memiliki bentuk parametrik apapun kecuali berupa fungsi periodik, yaitu memenuhi persamaan ( ) ( ) untuk setiap dan n, dengan n adalah himpunan bilangan asli. Misalkan * ( ) + adalah suatu proses Poisson periodik majemuk, yaitu ( ) Σ ( ) dimana * + adalah barisan peubah acak yang independent and identically distribution (i.i.d) dengan nilai harapan dan ragam , yang juga bebas terhadap proses Poisson periodik * ( ) +. Fungsi ragam dari ( ) dinotasikan dengan ( ), diberikan oleh ( ) , ( )- [ ] . ( )/ dengan ⌊ ⌋ ∫ ( ) dan ( ) ∫ ( ) . Misalkan untuk suatu , suatu realisasi tunggal ( ) dari suatu proses Poisson periodik * ( ) + dengan fungsi intensitas yang diamati pada suatu interval terbatas , - Selanjutnya, untuk setiap titik data pada realisasi ( ) , - yang diamati, misalkan titik data ke- (, -) peubah acak yang bersesuaian juga diamati. Penduga bagi fungsi ragam adalah ̂ ( ) . ̂ ̂ ( )/ ̂ dengan ̂ Σ (, -) ̂ ( ) Σ (, -) dan ̂ (, -) Σ (, -) dimana ̂ dan ̂ ( ) , saat (, -) Penduga bagi fungsi ragam dengan rumusan ini merupakan penduga yang konsisten lemah dan kuat, yaitu ̂ ( ) → ( ) dan ̂ ( ) → ( ) untuk → Pendekatan asimtotik untuk bias, ragam, dan MSE penduga berturut-turut adalah [ ̂ ( )] ( ) dengan ∫ ( ) [ ̂ ( )] ( ( ) ( ) ( ) ) ( * dan [ ̂ ( )] ( ( ) ( ) ( ) ) ( * untuk →