| dc.description.abstract | YESI RETNO NOVIYANTI. Submodule Tertutup dan Karakteristik Direct Summand. Dibimbing oleh NUR ALIATININGTYAS dan SUGI GURITMAN.
Module merupakan abstraksi dari ruang vektor, karena aksioma-aksioma yang didefinisikan pada
module dan ruang vektor adalah sama. Perbedaan diantara keduanya terletak pada skalar-skalarnya. Yaitu,
skalar-skalar dari module adalah unsur-unsur dari ring R yang selanjutnya disebut module atas ring R
(R-module) sedangkan skalar-skalar dari ruang vektor adalah unsur-unsur dari lapangan F yang disebut
ruang vektor atas lapangan F. Dari uraian di atas, maka definisi dari R-module adalah:
Diberikan R ring komutatif dengan unsur identitas 1 dan M adalah grup additive yang bersifat komutatif. Diberikan suatu fungsi dari Rx M→ M dengan bayangan (a, x) e Rx M dinotasikan oleh axe M. M disebut R-module jika dan hanya jika sifat berikut terpenuhi :
(1) (α + B)x = xx + Bx,
(2) α(x + y) = xxx + xy,
(3) (aẞ)x = α(Bx),
(4) lx = x,
untuk setiap aẞER dan x,ye M. Unsur-unsur pada R disebut skalar.
Dari suatu R-module dapat dihasilkan submodule tertutup beserta sifat-sifatnya. Yaitu, jika diberikan R daerah integral, M suatu R-module dan X submodule dari M maka X dikatakan tertutup di M jika dan hanya jika CIX-X dengan CLX= {ve M 3αe R\{0} sehingga av e X}.
Dari suatu R-module dapat dihasilkan juga submodule yang merupakan direct summand. Submodule X dari R-module M merupakan direct summand jika terdapat submodule Y dari R-module M sehingga M=XY. Untuk mengetahui suatu submodule dari R-module merupakan direct summand atau bukan
dapat juga digunakan sifat-sifat yang dihasilkan oleh submodule tertutup.
Jika diberikan R-module bebas (R-module yang mempunyai basis) dengan R adalah daerah ideal utama (R daerah integral dan setiap ideal dari R dibangkitkan oleh satu unsur ) maka syarat perlu dan cukup bagi suatu submodule merupakan direct summand adalah submodule tersebut tertutup dan dibangkitkan secara berhingga. | id |
