Graf Pembagi Nol Matriks Segitiga Atas Berordo 2 dengan Enttri Anggota Z_n

Abstract

Misalkan M_2 (n) merupakan himpunan semua matriks segitiga atas berordo 2 dengan entri anggota Z_n. Pembagi nol dari M_2 (n), dinotasikan Z(M_2 (n)), merupakan elemen tak nol dari M_2 (n) yang menghasilkan nol jika dikalikan dengan elemen tak nol lain dari M_2 (n). Pembagi nol Z(M_2 (n)) dapat direpresentasikan ke dalam sebuah graf berarah G(M_2 (n)) atau graf tak berarah G ~(M_2 (n)). Di dalam karya tulis ini, ditunjukan bahwa graf berarah G(M_2 (n)) merupakan graf terhubung, jika n=2. Selain itu, untuk graf tak berarah G ~(M_2 (n)) dengan =?p_1?^(e_1 ) ?p_2?^(e_2 )..?p_m?^(e_m ), m=2 dan p_i merupakan bilangan prima berbeda, ditunjukan bahwa tidak ada simpul yang adjacent dengan semua simpul lain. Sedangkan untuk graf tak berarah G ~(M_2 (n)) dengan n=p^k, dengan p bilangan prima, terdapat simpul yang mendominasi.

Let M_2 (n) denote the set of all upper triangular 2×2 matrices over Z_n. The zero-divisor of M_2 (n) denoted by Z(M_2 (n)), are non-zero elements that annihilate some other non-zero element under matrix multiplication. These zero-divisors can be represented as a directed graph (M_2 (n)) or an undirected graph G ~(M_2 (n)). This paper demonstrates that for n=2, the directed graph graph G(M_2 (n)) is connected. Furthermore, for the undirected graph G ~(M_2 (n)), we show that when n=?p_1?^(e_1 ) ?p_2?^(e_2 )..?p_m?^(e_m ) for m=2 and p_i are distinct prime number, no vertex is adjacent to all other vertexes. Conversely, when n=p^k for p prime, there exists a dominating vertex that adjacent to every other vertex in G ~(M_2 (n)).