Keterkaitan antara Ukuran Kesesuaian Gabriel dengan Analisis Procrustes dalam Analisis Biplot Lograsio

Abstract

Logratio biplot is an adaptation of ordinary biplot by logarithmic transformation and double centering. Logratio biplot is applied on specific data consisting positive row vectors, which are constrained to have unit sum 100% and called compositional data. From logratio biplot, we have three approximation matrices with respect to data, variables, and objects. Goodness-of-fit for these matrices has been given by Gabriel in 2002. The aim of this study is to explore the relationship between goodness-of-fit stated by Gabriel and the one obtained by Procrustes analysis. To obtain the later one, we need to determine minimum difference through three geometric transformations, i.e. translation, rotation, and dilation. In logratio biplot, we only need dilation on Procrustes analysis to obtain goodness-of-fit for approximation of data, variable, and object matrices. Therefore, goodness-of-fit obtained from Procrustes analysis will be the same as goodness-of-fit stated by Gabriel. Goodness-of-fit for approximation of variable matrix with certain value will be the same as approximation of object matrix with . Furthermore, approximation matrices of data, variable, and object will have the same value of goodness-of-fit at .

Biplot lograsio merupakan adaptasi dari biplot biasa dengan melakukan transformasi logaritmik dan pemusatan ganda. Analisis biplot lograsio ini diterapkan pada data khusus yang terdiri atas vektor-vektor baris dengan elemen-elemen positif dengan kendala jumlah 100%, yang dikenal dengan data komposisi. Dari biplot lograsio, diperoleh tiga pendekatan matriks yang terkait dengan data, peubah, dan objek. Ukuran kesesuaian dari ketiga matriks tersebut telah dikemukakan oleh Gabriel pada tahun 2002. Studi ini bertujuan untuk menelusuri keterkaitan antara ukuran kesesuaian yang telah dikemukakan Gabriel dengan ukuran kesesuaian yang diperoleh dari analisis Procrustes. Untuk mendapatkan ukuran kesesuaian analisis Procrustes dengan menentukan nilai perbedaan minimum, dilakukan tiga transformasi geometri yaitu translasi, rotasi, dan dilasi. Dalam biplot lograsio, untuk mendapatkan ukuran kesesuaian bagi pendekatan matriks data, peubah, dan objek, hanya perlu dilakukan transformasi dilasi dalam analisis Procrustes. Oleh sebab itu, ukuran kesesuaian yang diperoleh dari analisis Procrustes nilainya akan sama dengan ukuran kesesuaian Gabriel. Ukuran kesesuaian untuk matriks pendekatan peubah dengan suatu nilai akan memiliki nilai yang sama dengan matriks pendekatan objek dengan nilai . Matriks pendekatan data, peubah, dan objek akan memiliki ukuran kesesuaian yang sama pada saat nilai .