Analysis of Spatio Temporal Dynamics Model in Malaria

Abstract

Malaria is an infectious disease caused by protozoa of the genus Plasmodium, which is transmitted from person to another person through the bites of female Anopheles mosquitoes. Mathematical model can be used to study the spread of the disease. The mathematical model discussed in this paper is Ross- MacDonald model and models with spatial heterogeneity of migration model and visitation model. For the models of heterogeneous environments with mobility, we also made numerical simulations for different values of intensity connection between patches, values of e (the proportion of humans migrate) and T (visitation time). Stability analysis of Ross-MacDonald model give two stable equilibrium points. For the migration and visitation models, there are four stable equilibrium points. When in a fragmented environment, humans have a high migration rate between patches, the system will more rapidly reach the same equilibrium prevalence it reached with lower migration rates. When humans visit other patches, an increase in the time devoted to the visits will make the system reach a higher equilibrium prevalence more rapidly. The numerical simulation show that increasing mosquitoes mortality rate makes the number of infected humans being exposed decrease. If average bite of an infected mosquito increases, then the number of infected humans who become exposed also increases. For the mosquito population, increasing mosquitoes mortality rate will cause the number of infected mosquitoes being exposed decrease. Increasing the average bite of an infected mosquito will increase the number of infected mosquitoes that become exposed.

Malaria merupakan penyakit yang disebabkan oleh infeksi protozoa dari genus Plasmodium, yang ditularkan dari orang ke orang melalui gigitan nyamuk Anopheles betina. Malaria dapat menyerang manusia, burung, kera dan primata lainnya, hewan melata dan hewan pengerat. Penyakit malaria mempunyai penyebaran yang sangat luas, sampai saat ini malaria menjadi masalah kesehatan masyarakat Indonesia dan dunia. Meningkatnya kasus malaria dipengaruhi oleh perubahan pola distribusi vektor malaria (nyamuk Anopheles sp.) yang berkembang dari skala lokal menjadi skala global. Kondisi tersebut didukung oleh perubahan kondisi daerah endemik malaria yang bertambah luas dan meningkatnya jumlah penduduk tanpa didukung oleh sarana kesehatan yang memadahi. Perpindahan penduduk dari satu tempat ke tempat lain, khususnya dari daerah yang rawan penyakit menular ke daerah lain, menyebabkan daerah yang telah bebas dari penyakit akan terkena kembali. Berbagai upaya dilakukan untuk memberantas penyakit maupun vektor malaria. Upaya tersebut mencakup pengobatan pasien, penggunaan obat-obatan anti malaria, pemusnahan nyamuk vektor pembawa penyakit serta pemusnahan tempat perkembangbiakan nyamuk. Tetapi upaya tersebut kurang efektif karena obat anti malaria maupun obat pembasmi nyamuk memberikan dampak yang kecil terhadap penurunan kepadatan transmisi nyamuk (Mushinzimana et al.,2004). Sehubungan dengan banyaknya kendala tersebut, perlu adanya suatu penelitian dan pemikiran yang dilakukan. Pemodelan Matematika dapat membantu memahami dan mengidentifikasi hubungan penyebaran penyakit malaria dengan berbagai parameter epidemiologi. Model matematik yang dimaksud diantaranya ialah model Ross-MacDonald dan model heterogenitas spasial yang terdiri dari model Migrasi dan model Kunjungan. Pada ketiga model dilakukan analisis kestabilan dan simulasi numerik dengan pemrograman berbasis fungsional. Dalam proses analisis kestabilan, ditentukan titik-titik tetap, nilai eigen dan kestabilan dari titik tetap tersebut. Simulasi dilakukan untuk melihat pengaruh perubahan nilai e (proporsi sebagian manusia yang bermigrasi) pada model Migrasi, pengaruh perubahan nilai T (lama waktu berkunjung) pada model Kunjungan, serta melihat pengaruh perubahan laju kematian nyamuk dan rata-rata gigitan nyamuk terinfeksi terhadap populasi manusia terinfeksi dan nyamuk terinfeksi.