INDEKS TOPOLOGI BERBASIS JARAK PADA GRAF TOTAL DARI RING Z_(p^k) DAN Z_(pq)

Abstract

Graf total merupakan salah satu graf yang dibangun dari struktur ring komutatif dengan memanfaatkan himpunan pembagi nol sebagai dasar pembentukan relasi ketetanggaan. Sebagian besar penelitian terdahulu mendefinisikan pembagi nol dengan memasukkan elemen nol sebagai pembagi nol, sehingga karakteristik graf yang dihasilkan bergantung pada definisi tersebut. Penelitian ini mengkaji graf total pada ring bilangan bulat modulo Z_(p^k) dan Z_pq menggunakan definisi yang berbeda, yaitu hanya pembagi nol tak nol yang digunakan untuk menentukan ketetanggaan. Perubahan definisi tersebut menghasilkan struktur graf yang berbeda sehingga memerlukan karakterisasi dan analisis baru. Penelitian ini bertujuan merumuskan karakterisasi graf total pada Z_(p^k) dan Z_pq, menentukan dekomposisi komponen terhubung, mendeskripsikan distribusi jarak antar simpul, serta memperoleh formula eksplisit beberapa indeks topologi berbasis jarak. Metode yang digunakan merupakan penelitian teoritis melalui pendekatan aljabar dan teori graf. Pada kasus Z_(p^k), analisis dilakukan menggunakan partisi koset yang diperoleh dari homomorfisma kanonik menuju Z_p, sedangkan pada kasus Z_pq digunakan representasi hasil kali langsung Z_p×Z_q berdasarkan Teorema Sisa Cina. Hasil penelitian menunjukkan bahwa graf total pada kedua ring tersebut memiliki karakterisasi struktur yang dapat dinyatakan secara eksplisit. Untuk Z_(p^k), diperoleh dekomposisi graf ke dalam beberapa graf lengkap dan graf bipartit lengkap serta formula eksplisit untuk indeks Wiener, indeks Harary dan indeks Szeged. Sementara itu, untuk Z_pq diperoleh karakterisasi komponen terhubung, distribusi jarak antar simpul, serta formula eksplisit untuk indeks Wiener dan indeks Harary. Penelitian ini juga menunjukkan bahwa penggunaan himpunan pembagi nol tak nol sebagai dasar relasi ketetanggaan memberikan struktur graf yang berbeda secara fundamental dibandingkan graf total klasik, sehingga menghasilkan distribusi jarak dan nilai indeks topologi yang baru. Hasil penelitian ini diharapkan dapat memperkaya kajian teori graf aljabar dan menjadi dasar bagi pengembangan penelitian mengenai indeks topologi pada graf-graf yang dibangun dari struktur ring hingga.

The total graph is a graph constructed from a commutative ring by using the set of zero divisors to define the adjacency relation. Most previous studies have adopted the classical definition of zero divisors, which includes the zero element itself. In contrast, this thesis investigates total graphs over the integer modulo rings Z_(p^k) and Z_pq by employing nonzero zero divisors as the basis for adjacency. This modification leads to fundamentally different graph structures, thereby requiring new structural characterizations and analyses. The objectives of this research are to characterize the total graphs over Z_(p^k) and Z_pq, determine their connected component decompositions, describe the distance distribution among vertices, and derive explicit formulas for several distance-based topological indices. The study is theoretical in nature and employs algebraic and graph-theoretical approaches. For the case of Z_(p^k), the analysis is carried out using coset partitions induced by the canonical homomorphism onto Z_p. For Z_pq, the analysis is based on the direct product representation Z_p×Z_q obtained from the Chinese Remainder Theorem. The results show that the total graphs over both rings admit explicit structural characterizations. For Z_(p^k), the graph is decomposed into complete graphs and complete bipartite graphs, and explicit formulas for the Wiener, Harary, and Szeged indices are obtained. For Z_pq, the connected components, vertex distance distribution, and explicit formulas for the Wiener and Harary indices are successfully derived. Furthermore, the study demonstrates that defining adjacency using only nonzero zero divisors produces graph structures that differ fundamentally from the classical total graph, resulting in new distance distributions and new values of distance-based topological indices. These findings contribute to the development of algebraic graph theory by providing new insights into total graphs over finite commutative rings and establishing a foundation for further investigations of topological indices on graphs arising from algebraic structures.