Determinan, Invers, dan Trace Matriks Left Circulant dengan Entri Barisan Lucas

Abstract

Matriks left circulant adalah matriks persegi atau persegi panjang yang setiap barisnya diperoleh dengan menggeser elemen-elemen satu baris sebelumnya ke kiri dengan jumlah atau jarak pergeserannya sebanyak satu langkah. Penelitian ini bertujuan untuk menemukan formula determinan, invers, dan trace dari matriks left circulant berukuran n × n dengan entri baris pertama berasal dari barisan bilangan Lucas. Dengan memanfaatkan operasi baris dasar, operasi kolom dasar, serta sifat rekursif barisan bilangan Lucas, matriks tersebut direduksi menjadi bentuk diagonal sehingga diperoleh rumus determinan yang ditentukan dari hasil perkalian diagonal utama pada matriks diagonal. Invers matriks diperoleh melalui hubungan ekuivalensi D = PAQ, dengan matriks P dan Q diperoleh dengan menerapkan operasi baris dan kolom pada matriks identitas secara berturut-turut, sehingga A?¹ = QD?¹P. Nilai trace ditentukan langsung dari jumlah elemen diagonal utama dan menghasilkan dua bentuk umum tertutup yang bergantung pada paritas n. Seluruh hasil divalidasi melalui contoh numerik dengan aplikasi Mathematica.

A left circulant matrices is a square or rectangular matrices in which each row is obtained by shifting the elements of the previous row to the left by one step. This study aims to derive formulas for the determinant, inverse, and trace of an n × n left circulant matrix whose first row entries are taken from the Lucas number sequence. By utilizing elementary row and column operations, along with the recursive properties of Lucas sequence, the matrix is reduced to a diagonal form, allowing the determinant to be expressed as the product of its main diagonal elements. The inverse of the matrix is then obtained through the equivalence relation D = PAQ, where matrices P and Q are obtained by applying the row and column operations to the identity matrix respectively, yielding A?¹ = QD?¹P. The trace is determined directly from the sum of the main diagonal elements, resulting in two general closed forms depending on the parity of n. All results are validated through numerical examples using Mathematica.