Ideal Nil-Prima pada Ring Faktor Zn[X]/X^2 dan Karakterisasinya

Abstract

Perkembangan kajian ideal dalam aljabar abstrak telah melahirkan berbagai generalisasi konsep ideal prima pada ring komutatif, salah satunya adalah ideal nil-prima. Dengan mendenotasikan Nil(R) sebagai himpunan semua unsur nilpoten dalam suatu ring R, suatu ideal sejati P dari ring komutatif R disebut ideal nil-prima terhadap X ? Nil(R) jika untuk setiap a,b ? R dengan ab ? R, berlaku a ? P atau b ? P atau a + X ? P atau b + X ? P. Penelitian ini bertujuan untuk merekonstruksi struktur ring faktor Zn[X]/X^2, dan memperlihatkan suatu himpunan K(I,J) ? Zn[X]/X^2 merupakan ideal nil-prima, serta mengkarakterisasi sifat-sifatnya. Hasil penelitian menunjukan bahwa ring faktor Zn[X]/X^2 tersusun atas kelas-kelas polinomial berbentuk a + bX dengan a,b ? Zn, dengan X bersifat nilpoten. Untuk I ideal prima di Zn dan J = Zn, terbukti bahwa K(I,J) merupakan ideal prima sekaligus ideal nil-prima pada Zn[X]/<X^2> . Karakterisasi menunjukan bahwa untuk setiap Nil( Zn[X]/X^2) berlaku 2 · Nil( Zn[X]/X^2) = K(I,J) jika n ganjil dan 2 · Nil( Zn[X]/X^2) ? K(I,J) jika n genap.

The developments of ideal theory in abstract algebra has given rise to various generalizations of the concept of prime ideals in commutative rings, one of which is the nil-prime ideal. By denoting Nil(R) as the set of all nilpotent elements in a commutative ring R, a proper ideal P of a commutative ring R is called a nil-prime ideal with respect to X ? Nil(R) if for every a,b ? R with ab ? R, it holds that a ? P or b ? P or a + X ? P or b + X ? P. This study aims to reconstruct the structure of the quotient ring Zn[X]/X^2, to show that the set K(I,J) ? Zn[X]/X^2 constitutes a nil-prime ideal, and to characterize its properties. The results show that the quotient ring Zn[X]/X^2 consists of polynomial classes of the form a + bX with a,b ? Zn, with X is nilpotent element. For I a prime ideal in Zn and J = Zn, it is proven that K(I,J) is both prime ideal and nil-prime ideal in Zn[X]/X^2. The characterization shows that for every Nil( Zn[X]/X^2) it holds that 2 · Nil( Zn[X]/X^2) = K(I,J) if n is odd, and 2 · Nil( Zn[X]/X^2) ? K(I,J) if n is even.