Sebaran Asimtotik Penduga Fungsi Ragam pada Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Fungsi Pangkat

Abstract

Proses stokastik merupakan proses yang dapat digunakan dalam kehidupan sehari-hari untuk menggambarkan atau memodelkan suatu kejadian atau fenomena yang belum pasti. Salah satu bentuk dari proses stokastik adalah proses Poisson majemuk. Beberapa aplikasi proses Poisson majemuk di antaranya pada bidang fisika, demografi, seismologi, keuangan, asuransi, dan biologi. Kajian terhadap proses Poisson majemuk diawali dengan proses Poisson periodik majemuk kemudian diperluas menjadi proses Poisson periodik majemuk dengan adanya tren, yaitu tren fungsi linear dan tren fungsi pangkat. Penelitian ini merupakan kelanjutan penelitian mengenai proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat. Tujuan dari penelitian ini adalah: (i) memodifikasi atau merumuskan kembali penduga fungsi ragam proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat, (ii) menentukan sebaran asimtotik penduga fungsi ragam proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat, dan (iii) menentukan nilai ¬¬¬¬n terkecil dimana sebaran penduga fungsi ragam sudah mendekati sebaran normal. Misalkan {N(t),t≥0} adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan fungsi intensitas λ yang terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas λ diasumsikan mempunyai dua komponen, yaitu sebuah komponen periodik λ_c, dengan periode τ>0 yang diketahui dan sebuah komponen tren fungsi pangkat. Dengan kata lain, untuk setiap s≥0, fungsi intensitas λ dapat ditulis sebagai berikut λ(s)=λ_c (s)+as^b. Fungsi periodik λ_c tidak diasumsikan memiliki bentuk parametrik apapun kecuali berupa fungsi periodik λ_c (s)=λ_c (s+kτ) untuk setiap s≥0 dan k∈N. Misalkan {Y(t),t≥0} adalah suatu proses dengan Y(t)=∑_(i=1)^(N(t))▒X_i di mana 〖{X〗_i,i≥1} merupakan barisan peubah acak tak negatif yang bebas dan memiliki sebaran identik (independent and identically distributed (i.i.d)) dengan nilai harapan μ<∞ dan ragam σ^2<∞, serta bebas terhadap {N(t),t≥0}. Proses {Y(t),t≥0} disebut dengan proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat. Misalkan V(t) merupakan notasi bagi fungsi ragam dari Y(t). Dengan notasi E(X_1^2 )=μ_2, V(t) dapat ditulis sebagai berikut V(t)=E[N(t)]E[X_1^2 ]=Λ(t) μ_2 dengan Λ(t)=∫_0^t▒λ(s)ds. Misalkan t_r=t-⌊t/τ⌋τ dengan k_(t,τ)=⌊t/τ⌋, maka t dapat dinyatakan sebagai t=k_(t,τ) τ+t_r, dengan 0≤t_r<τ. Misalkan θ=1/τ ∫_0^τ▒〖λ_c (s)ds〗 menyatakan fungsi intensitas global dari komponen periodik pada proses {N(t),t≥0}, dan diasumsikan bahwa θ>0. Selanjutnya ∫_0^τ▒〖λ_c (s)ds〗 ditulis sebagai 〖∫_0^τ▒〖λ_c (s)ds〗=Λ〗_c (t_r )+Λ_c^( c) (t_r ), dengan Λ_c (t_r )=∫_0^(t_r)▒〖λ_c (s)ds〗 dan Λ_c^( c) (t_r )=∫_(t_r)^τ▒〖λ_c (s)ds〗. Kemudian untuk setiap t≥0 yang diberikan didapatkan Λ(t)=〖(1+k〗_(t,τ))Λ_c (t_r )+k_(t,τ) Λ_c^( c) (t_r )+a/(b+1) t^(b+1). Akhirnya, fungsi ragam dari Y(t) dapat ditulis menjadi V(t)=(〖(1+k〗_(t,τ))Λ_c (t_r )+k_(t,τ) Λ_c^( c) (t_r )+a/(b+1) t^(b+1) ) μ_2. Misalkan untuk suatu ω∈Ω, realisasi tunggal N(ω) dari proses {N(t),t≥0} diamati pada suatu interval terbatas [0,m]. Misalkan pula m=n^(1+δ), dimana δ merupakan sembarang bilangan real positif yang kecil. Realisasi proses Poisson pada interval pengamatan [0,m] digunakan untuk mengestimasi kemiringan tren (a). Sedangkan, penduga komponen selainnya menggunakan realisasi proses Poisson pada interval [0,n]. Penduga fungsi ragam dari Y(t) pada persamaan di atas dapat dirumuskan sebagai berikut V ̂_(n,b) (t)=(〖(1+k〗_(t,τ))Λ ̂_( c,n,b) (t_r )+k_(t,τ) 〖Λ ̂_( c,n,b)〗^c (t_r )+a ̂_(m,b)/(b+1) t^(b+1) ) μ ̂_(2,n) dengan a ̂_(m,b)=(b+1)N([0,m])/m^(b+1) -((b+1) θ ̃_n)/m^b Λ ̂_( c,n,b) (t_r ) =((1-b) τ^(1-b))/n^(1-b) ∑_(k=1)^(k_(n,τ))▒〖N([kτ,kτ+t_r ])/k^b -〗 a ̂_(m,b) (1-b) n^b t_r 〖Λ ̂_( c,n,b)〗^c (t_r )=((1-b) τ^(1-b))/n^(1-b) ∑_(k=1)^(k_(n,τ))▒〖N([kτ+t_r,kτ+τ])/k^b -〗 a ̂_(m,b) (1-b) n^b (τ-t_r ) μ ̂_(2,n)=1/(N([0,n])) ∑_(i=1)^(N([0,n]))▒X_i^2 . dengan μ ̂_(2,n)=0 saat N([0,n]=0. Sebaran asimtotik penduga fungsi ragam V ̂_(n,b) (t) dapat ditulis sebagai berikut √(n^(1-b) ) (V ̂_(n,b) (t)-V(t)) □(→┴d ) Normal (0,(〖1+k〗_(t,τ) )^2 aτt_r (1-b) μ_2^2+ k_(t,τ)^2 aτ(1-b)(τ-t_r)μ_2^2 ). Penduga V ̂_(n,b) (t) pada penelitian ini mulai menyebar normal jika panjang interval pengamatan adalah n=200 untuk τ=1, yang merupakan nilai n paling kecil. Ketika periodenya semakin besar, diperlukan interval pengamatan [0,n] yang semakin panjang, agar sebaran penduganya mendekati sebaran normal.

The stochastic process is a process that can be used in everyday life to describe or model an uncertain event or phenomenon. One form of a stochastic process is a compound Poisson process. Several applications of the Poisson process include physics, demography, seismology, finance, insurance, and biology. The study of the compound Poisson process begins with a compound periodic Poisson process and then expands to a compound periodic Poisson process with trends, namely linear function trend and power function trend. This research is a continuation of research on the compound periodic Poisson process with a power function trend. The aims of this research are to: (i) modify or reformulate the variance function estimator of a compound periodic Poisson process with a power function trend, (ii) determine the asymptotic distribution of an estimator for variance function of a compound periodic Poisson process with power function trend, and (iii) determine the smallest value of n where the distribution of variance function estimator is close to the normal distribution. Let {N(t),t≥0} be a nonhomogeneous Poisson process with an intensity function λ that is locally integrable and unknown. The intensity function λ is assumed to have two components, namely a periodic component λ_c, with a known period τ>0 and a trend component which is a power function. In other words, for each s≥0, the intensity function can be written as follows λ(s)=λ_c (s)+as^b. The periodic functionfor λ_c is not assumed to have any parametric form, except that it is a periodic function, that is λ_c (s)=λ_c (s+kτ) for all s≥0 and k∈N. Let {Y(t),t≥0} be a process with Y(t)=∑_(i=1)^(N(t))▒X_i , where 〖{X〗_i,i≥1} is a sequence of independent and identically distributed (i.i.d) random variables with expected value μ<∞ and variance σ^2<∞, and is independent of {N(t),t≥0}. The process {Y(t),t≥0} is called a compound periodic Poisson process with a power function trend. Let V(t) be the notation for the variance function of Y(t). With the notation E(X_1^2 )=μ_2, V(t) can be written as follows V(t)=E[N(t)]E[X_1^2 ]=Λ(t) μ_2 with Λ(t)=∫_0^t▒λ(s)ds. Suppose that t_r=t-⌊t/τ⌋τ, with k_(t,τ)=⌊t/τ⌋, so t can be expressed as t=k_(t,τ) τ+t_r, with 0≤t_r<τ. Let θ=1/τ ∫_0^τ▒〖λ_c (s)ds〗 represents the global intensity function of the periodic component of the process {N(t),t≥0}, and assume that θ>0. Then ∫_0^τ▒〖λ_c (s)ds〗 is written as 〖∫_0^τ▒〖λ_c (s)ds〗=Λ〗_c (t_r )+Λ_c^( c) (t_r ), where Λ_c (t_r )=∫_0^(t_r)▒〖λ_c (s)ds〗 and Λ_c^( c) (t_r )=∫_(t_r)^τ▒〖λ_c (s)ds〗. Then for every given t≥0 we get Λ(t)=〖(1+k〗_(t,τ))Λ_c (t_r )+k_(t,τ) Λ_c^( c) (t_r )+a/(b+1) t^(b+1). Finally, the variance function of Y(t) can be written as V(t)=(〖(1+k〗_(t,τ))Λ_c (t_r )+k_(t,τ) Λ_c^( c) (t_r )+a/(b+1) t^(b+1) ) μ_2 Suppose that for some ω∈Ω, a single realization N(ω) of the process {N(t),t≥0} is observed over a finite interval [0,m]. Let's also m=n^(1+δ), where δ is any small positive real number. The realization of the Poisson process at the observation interval [0,m] is used to estimate the slope of the trend (a) meanwhile, the estimators of other components use the realization of the Poisson process at the interval [0,n]. The variance function estimator of Y(t) in the above equation can be formulated as follows V ̂_(n,b) (t)=(〖(1+k〗_(t,τ))Λ ̂_( c,n,b) (t_r )+k_(t,τ) 〖Λ ̂_( c,n,b)〗^c (t_r )+a ̂_(m,b)/(b+1) t^(b+1) ) μ ̂_(2,n) with a ̂_(m,b)=(b+1)N([0,m])/m^(b+1) -((b+1) θ ̃_n)/m^b Λ ̂_( c,n,b) (t_r ) =((1-b) τ^(1-b))/n^(1-b) ∑_(k=1)^(k_(n,τ))▒〖N([kτ,kτ+t_r ])/k^b -〗 a ̂_(m,b) (1-b) n^b t_r 〖Λ ̂_( c,n,b)〗^c (t_r )=((1-b) τ^(1-b))/n^(1-b) ∑_(k=1)^(k_(n,τ))▒〖N([kτ+t_r,kτ+τ])/k^b -〗 a ̂_(m,b) (1-b) n^b (τ-t_r ) μ ̂_(2,n)=1/(N([0,n])) ∑_(i=1)^(N([0,n]))▒X_i^2 . if N([0,n]>0 and μ ̂_(2,n)=0 if N([0,n]=0. The asymptotic distribution of the variance function estimator V ̂_(n,b) (t) can be written as follows √(n^(1-b) ) (V ̂_(n,b) (t)-V(t)) □(→┴d ) Normal (0,(〖1+k〗_(t,τ) )^2 aτt_r (1-b) μ_2^2+ k_(t,τ)^2 aτ(1-b)(τ-t_r)μ_2^2 ). The estimator V ̂_(n,b) (t) starts to spread normally when the length of the observation interval is n=200 for the case τ=1, which is the smallest value of n. When the period getting bigger it is needed a longer observation interval to ensure that the distribution of the estimator still close to the normal distribution.