Model Matematika Penyebaran DBD Tipe SIR dan Simulasinya

Abstract

Pada tulisan ini dikembangkan model matematika penyebaran demam berdarah dengue (DBD) tipe SIR, di mana SIR merupakan singkatan dari susceptible (S), infected (I) dan recovered (R). Model matematika tersebut dikontruksi dari model yang dikembangkan oleh Massad et al. (2011) dan Amaku et al. (2013). Pada kedua model tersebut terdapat tiga asumsi, yaitu laju perpindahan nyamuk laten menjadi nyamuk terinfeksi, produksi telur nyamuk dan faktor suhu yang digunakan dalam penetasan telur nyamuk. Berdasarkan asumsi yang terdapat pada kedua model tersebut, maka model matematika tipe SIR dimodifikasi dengan mengasumsikan laju perpindahan nyamuk laten menjadi nyamuk terinfeksi tidak melibatkan waktu tunda. Dalam hal produksi telur nyamuk, telur nyamuk sehat diproduksi oleh nyamuk rentan dan nyamuk terinfeksi, sedangkan telur nyamuk terifeksi hanya diproduksi oleh nyamuk terinfeksi. Selain itu, dalam memproduksi nyamuk rentan dan nyamuk terinfeksi dari telur-telurnya digunakan faktor suhu konstan. Pada model matematika tipe SIR modifikasi, ditentukan titik tetap. Selanjutnya dilakukan analisis kestabilan masing-masing titik tetap dengan mempertimbangkan bilangan reproduksi dasar ℛ0 . Bilangan reproduksi dasar merupakan nilai harapan banyaknya infeksi setiap satuan waktu. Jika ℛ0<1, maka rata-rata setiap individu terinfeksi akan menginfeksi kurang dari satu individu baru, sehingga penyakit tidak akan menyebar. Jika ℛ0>1, maka rata-rata setiap individu terinfeksi akan menginfeksi lebih dari satu individu baru, sehingga penyakit akan menyebar. Untuk menunjukkan perilaku populasi pada kondisi ℛ0<1 dan ℛ0>1, maka dilakukan simulasi. Selain itu, simulasi juga dilakukan untuk melihat pengaruh laju kematian nyamuk terhadap penyebaran penyakit. Dalam penelitian ini diperoleh dua titik tetap, yaitu titik tetap tanpa penyakit (disease-free equilibrium) dan titik tetap endemik (endemic equilibrium). Populasi manusia, nyamuk dan telur nyamuk stabil di sekitar titik tetap tanpa penyakit ketika ℛ0<1 dan stabil di sekitar titik tetap endemik ketika ℛ0>1. Hasil simulasi juga menunjukkan, bahwa peningkatan laju kematian nyamuk dapat menurunkan bilangan reproduksi dasar, sehingga membantu menekan laju penyebaran penyakit. Meningkatnya laju kematian nyamuk juga memberi pengaruh pada masing-masing populasi. Adapun pengaruh yang terjadi pada populasi manusia, yaitu populasi manusia rentan mengalami peningkatan, sedangkan populasi manusia sembuh berkurang. Untuk populasi manusia terinfeksi, pada awal simulasi populasi tersebut berkurang, akan tetapi pada akhir simulasi jumlahnya sama. Pengaruh yang terjadi pada populasi nyamuk, yaitu populasi nyamuk rentan pada awal simulasi meningkat, akan tetapi pada akhir simulasi populasi tersebut jumlahnya sama. Untuk populasi nyamuk laten dan nyamuk terinfeksi, pada awal simulasi berkurang, akan tetapi pada akhir simulasi jumlah masing-masing populasi tersebut sama. Pengaruh yang terjadi pada populasi telur nyamuk, yaitu populasi telur nyamuk sehat meningkat pada awal simulasi, akan tetapi pada akhir simulasi jumlah populasi tersebut sama. Untuk populasi telur nyamuk terinfeksi, pada awal simulasi berkurang, akan tetapi pada akhir simulasi jumlahnya sama.