Penentuan Harga Opsi Lookback menggunakan Metode Monte Carlo dengan Teknik Moment Matching

Abstract

Produk derivatif merupakan instrumen keuangan yang digunakan untuk meminimalkan risiko dari investasi. Salah satu produk derivatif yang populer digunakan adalah opsi. Opsi merupakan suatu kontrak yang memberikan hak kepada pemiliknya untuk membeli atau menjual aset yang mendasari dengan harga tertentu atau harga strike (K) pada atau sebelum jatuh tempo (T). Berdasarkan haknya, opsi dibagi menjadi opsi call dan opsi put. Pemilik opsi tidak harus melakukan eksekusi apabila tidak menguntungkan. Opsi dilihat dari penentuan payoff-nya dibagi menjadi dua, yaitu opsi vanila dan opsi eksotik. Opsi eksotik memiliki struktur yang lebih kompleks dibandingkan opsi vanila. Di pasar keuangan, opsi eksotik digunakan karena dapat memberikan gambaran yang lebih akurat tentang pergerakkan pasar. Salah satu opsi eksotik adalah opsi lookback. Opsi lookback merupakan salah satu opsi eksotik yang penentuan payoff-nya bergantung pada harga maksimum atau minimum dari aset yang mendasarinya selama masa berlakunya opsi. Secara umum, opsi ini dibagi menjadi opsi lookback fixed strike dan floating strike. Kelebihan dari opsi ini adalah dapat memberikan informasi tentang perilaku harga aset dari waktu ke waktu sehingga dapat memberikan penggunanya peluang untuk memperoleh keuntungan terbaik dari mengeksekusi pada saat jatuh tempo dengan menggunakan harga maksimum atau minimum. Model Black Scholes diperkenalkan pada tahun 1973 oleh Black dan Scholes untuk menentukan harga opsi Eropa. Model ini digunakan untuk memperoleh nilai analitik dari opsi Eropa. Namun, Sebagian besar dari opsi eksotik tidak memiliki solusi analitik sehingga diperlukan metode numerik untuk menentukan harga opsi eksotik. Pada penelitian ini digunakan metode numerik Monte Carlo. Metode Monte Carlo merupakan metode numerik yang didasarkan pada teori probabilitas menggunakan bilangan acak untuk menyelesaikan masalah komputasi. Metode ini merupakan metode numerik yang fleksibel dan mudah untuk dimodifikasi sehingga sering digunakan dalam penentuan harga opsi. Namun, metode ini memiliki kekurangan seperti membutuhkan banyaknya perulangan dalam menyelesaikan kasus yang kompleks. Sehingga dilakukan pengembangan dalam meningkatkan akurasi dari metode Monte Carlo dengan menambahkan teknik reduksi varian. Salah satu reduksi varian adalah moment matching. Ide dari moment matching adalah untuk mencocokkan momen dari sampel dengan distribusi populasi sehingga momen dari sampel dapat menyesuaikan sifat statistik dari distribusi populasinya. Oleh karena itu, tujuan dari penelitian ini adalah menentukan harga opsi lookback menggunakan metode Monte Carlo dengan teknik moment matching. Pada penelitian ini, dilakukan penghitungan harga opsi lookback floating strike menggunakan metode Monte Carlo standar dan Monte Carlo dengan teknik moment matching. Pada proses moment matching dilakukan dua proses transformasi, yaitu terhadap bilangan acak dan harga saham. Hasil yang diperoleh dari metode numerik, yaitu menambahkan teknik moment matching dapat meningkatkan akurasi dari metode Monte Carlo standar. Pada proses moment matching menggunakan dua momen menghasilkan nilai opsi yang lebih cepat mendekati solusi eksaknya dibandingkan dengan satu momen baik untuk penghitungan harga opsi call dan opsi put dari lookback floating strike. Hasil numerik dari metode Monte Carlo dengan teknik moment matching memiliki nilai yang semakin mendekati nilai eksaknya dengan semakin banyaknya simulasi yang dilakukan.

A derivative product is a financial instrument that use to minimize the risk of investment. One of the popular derivative products is option. An option is a contract that gives the right to buy or sell an underlying asset at a specific price known as strike price (K) at or before maturity (T). Based on the rights, options are divided into the call and put options. The option owner does not have to exercise if it is not profitable. When viewed from the determination of the payoff, the options are divided into vanilla and exotic options. Exotic options have more complex structures than vanilla options. In the financial market, exotic options were used because the option can provide a more accurate description of market behavior. One of the exotic options is the lookback option. Lookback option determine the payoff depending on the maximum or minimum price of the underlying asset for a time period of the option. In general, lookback options are divided into fixed strike and floating strike. The advantage of this option is provides information about the asset's price behavior over time and allows the user to get the best profit from execution at maturity using the maximum or minimum price. The Black Scholes model was introduced in 1973 by Black and Scholes to price European options. This model was used to obtain an analytical solution to the European option price. However, most of the exotic options do not have analytical solutions, so a numerical method is needed to approach the analytical solution of the option price. In this research, the Monte Carlo numerical method was used. Monte Carlo method is a numerical method based on probability theory using random numbers to solve computational problems. This method has an algorithm that is easy to understand and flexible, so it is popularly used in determined price option. However, this method has a disadvantage in convergence because it takes a lot of iterations. So, it is necessary to develop this method by adding a variance reduction technique to increase the accuracy of the Monte Carlo method. One of the variance reductions is moment matching. The idea of moment matching is to match the moments of the sample with the population distribution so that the moments of the sample match the statistical properties of the population distribution. Therefore, this research aims to determine the price of lookback options using the Monte Carlo method with moment matching technique. This research calculated the price of lookback floating strike options using standard Monte Carlo and Monte Carlo with moment matching technique. The moment matching process is carried out by matching the sample moments with the moments from the population distribution of random numbers and stock prices. Based on the results from the numerical method, adding moment matching can increase the accuracy of the standard Monte Carlo method. Regarding the moment matching process, the use of two moments has faster to approach the exact solution than the first moment, both in calculating call and put options from the lookback floating strike option. The numerical results using the Monte Carlo method with the moment matching technique have values that are close to the exact value as the number of simulations increases.