Analisis Model Stokastik CTMC dengan Karantina pada Penyebaran Penyakit Menular
Abstract
Model epidemik SIQRS yang dikaji pada penelitian ini digunakan untuk
menganalisis karakteristik dari penyebaran penyakit menular, seperti penyakit
tuberkulosis. Penelitian ini bertujuan untuk (1) memodifikasi model SIQR Cao et
al. 2019 menjadi model SIQRS, (2) menentukan peluang transisi, peluang wabah
dan nilai harapan waktu bebas penyakit dengan pendekatan CTMC, (3) melakukan
simulasi pengaruh peningkatan lama waktu penyembuhan, pengaruh peningkatan
jumlah individu terinfeksi, dan pengaruh peningkatan jumlah individu dikarantina,
sehingga diperoleh sebaran waktu bebas penyakit serta pengaruh karantina terhadap
nilai harapan waktu bebas penyakit. Data yang digunakan untuk simulasi yaitu data
tentang asumsi kondisi penyakit tuberkulosis secara umum.
Peluang transisi pada penelitian ini diperoleh melalui pendekatan stokastik
CTMC dengan dua cara. Pendekatan CTMC cara pertama yaitu disumsikan terdapat
tiga peubah acak dan satu peubah yang dapat ditentukan nilainya secara pasti.
Pendekatan CTMC cara kedua yaitu diasumsikan terdapat empat peubah acak
sehingga total populasi bernilai acak. Pendekatan stokastik CTMC juga dapat
digunakan untuk menentukan peluang wabah melalui proses bercabang.
Berdasarkan proses bercabang, wabah dapat terjadi ketika nilai harapan jumlah
individu terinfeksi (m) > 1 lalu sebaliknya wabah hilang dari populasi ketika nilai
harapan jumlah individu terinfeksi (m) ≤ 1. Nilai harapan waktu tidak terjadi
wabah (nilai harapan waktu bebas penyakit) sulit diperoleh melalui matriks
generator Q karena populasi yang disimulasikan cukup besar, sehingga pada
penelitian ini nilai harapan waktu bebas penyakit ditentukan secara numerik.
Nilai harapan waktu bebas penyakit pada penelitian ini ditentukan melalui
simulasi komputer yang diulang sebanyak 100 kali pada masing-masing parameter
laju karantina untuk memperoleh sebaran peluangnya, selanjutnya dapat ditentukan
nilai harapannya. Berdasarkan hasil simulasi pada skenario pertama dapat
disimpulkan bahwa peningkatan lama waktu penyembuhan, menyebabkan
peningkatan pada bilangan reproduksi dasar (R0) dan nilai harapan jumlah individu
terinfeksi (m). Pada simulasi ini peningkatan nilai R0 dan m tidak membuat nilai
wabah terjadi dalam jangka panjang karena nilai R0<1 , m <1 dan jumlah
individu terinfeksi menurun, walaupun membutuhkan waktu yang cukup lama agar
wabah tersebut dapat hilang dari populasi.
Berdasarkan scenario kedua didapatkan bahwa peningkatan jumlah individu
terinfeksi berpengaruh terhadap kenaikan bilangan reproduksi dasar (R0) dan nilai
harapan jumlah individu terinfeksi (m). Hasil simulasi menunjukkan bahwa jumlah
individu terinfeksi semakin berfluktuasi. Peningkatan bilangan reproduksi dasar
(R0) >1 dan nilai harapan jumlah individu terinfeksi (m) > 1 menyebabkan
terjadi peningkatan pada peluang wabah. Nilai R0, m, dan peluang wabah diperoleh
secara analitik. Peningkatan pada peluang wabah menunjukkan bahwa waktu
terjadinya endemik atau penyakit semakin lama sehingga penyakit hilang lebih
lama dari suatu populasi.
Berbeda halnya pada skenario ketiga didapatkan bahwa peningkatan jumlah
individu dikarantina dapat menurunkan bilangan reproduksi dasar (R0) dan nilai
harapan jumlah individu terinfeksi (m). Berdasarkan laju karantina yang digunakan
yaitu 0,1; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; dan 1 per tahun menghasilkan nilai harapan waktu bebas
penyakit berturut-turut 35,34; 17,86; 9,22; 5,261; 4,277; dan 3,284 tahun. Besarnya
laju karantina yang ditingkatkan menyebabkan nilai harapan waktu bebas penyakit
semakin kecil, sehingga dapat menurunkan waktu terjadinya wabah. Penyakit dapat
hilang lebih cepat dari suatu populasi yang mengakibatkan tidak terjadi wabah
dalam jangka panjang. An epidemic model namely SIQRS model developed in this study was
intended to analyse the spreading characteristics of infectious diseases i.e.
tuberculosis. The aims of this study were (1) to modify the Cao et al. 2019’s model
known as SIQR model into SIQRS model (2) to determine: transitional
probabilities, disease outbreak probability, expected time until disease-free using
CTMC (Continuous Time Markov Chain) approach, (3) to simulate the effect of
increasing the healing time, the number of infected individuals, and the number of
quarantined individuals, which in turn can be determined the distribution of diseasefree time and the outcome of quarantine on the expected time until disease-free. The
data was used in the simulation were data about the general assumptions of
tuberculosis condition.
In this study, the transition opportunities were obtained through the stochastic
CTMC approach in two ways. The first way of CTMC approach was assumed there
were three random variables and one variable whose value can be determined
certainty. The second way of CTMC approach was assumed there were four random
variables so the number of populations were random. The stochastic CTMC
approach also be used to determine the probability of outbreak through a branching
process. Based on branching process, an outbreak could occur when the expected
number of infected individuals (m) > 1 otherwise an outbreak should disappear
from population when the number of infected individuals (m) ≤ 1. The expected
time when there was no outbreak (expected time of disease-free) was difficult to
obtain through generator matrix Q because the simulated population was large, so
in this study the expected time of disease-free was determined numerically.
The expected time of disease-free was determined by computer simulations
were replicated for 100 times on each quarantine rate to get the distribution of the
probability of disease-free then the expected time of disease-free can be obtained.
Based on first scenario, it could be concluded that increasing the healing time cause
increased the basic reproduction number (R0) and the expected number of infected
individuals (m). In this simulation the increased value of R0 dan m didn’t make the
outbreak in log-term because the value of R0 <1, m <1, and the number of
infected individuals decreased although it took long time for the outbreak
disappeared from population.
Based on second scenario, the increasing number of infected individuals also
affected to increase the basic reproduction number (R0) and the expected number
of infected individuals (m). The simulation result showed that the number of
infected individuals were fluctuated. An increase in the basic reproduction number
(R0) > 1 and the expected number of infected individuals (m) > 1 caused an
increase in the probability of an outbreak. The value of R0, m, and the outbreak
probabilities were determined analytically. An increase in the probability of an
outbreak indicated that the time of disease getting longer. Thus the diseases
disappeared in long-term from a population.
It was different in the third scenario, the increasing number of quarantined
individuals decreased the basic reproduction number (R0) and the expected number
of infected individuals (m). Based on the quarantine rate parameters used, which
were 0,1; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; and 1 per year, respectively produced an expectation
time of disease-free were 35,34; 17,86; 9,22; 5,261; 4,277; and 3,284 years. An
increasing of quarantine rate decreased the expected time until disease-free. It also
made the diseases disappear rapidly from the population, thus there was not
outbreak in the long-term.