Kombinasi Varian Metode Newton Dan Metode Halley Untuk Menyelesaikan Persamaan Tak Linier

Abstract

Masalah menemukan akar dari suatu persamaan tak linier ini merupakan masalah yang sering muncul dalam berbagai disiplin ilmu. Dalam kenyataannya, akar-akar persamaan tak linier tersebut tidak mudah untuk ditemukan secara analitik, kecuali pada kasus-kasus sederhana. Oleh sebab itu, alasan utama mengapa penyelesaian masalah pencarian akar persamaan tak linier memerlukan pendekatan numerik disebabkan karena penyelesaian menggunakan cara analitik biasanya akan menemui kesulitan, meskipun persamaan tersebut kelihatannya sederhana. Hal inilah yang menjadi sebab mengapa metode numerik menjadi sangat diperlukan dalam memecahkan persoalan-persoalan dalam bidang sains dan teknologi bahkan ekonomi sekalipun. Penelitian ini memiliki tiga tujuan utama yaitu: (1) Merekonstruksi algoritme Newton, midpoint dan Halley; (2) Mengombinasikan algoritme Newton, midpoint dan Halley; (3) Membandingkan secara ekperimental hasil uji komputasi dari modifikasi metode baru yang dihasilkan dengan metode sebelumnya dari segi iterasi, Number of Function Evaluations dan running time. Metode dalam penelitian ini disusun melalui tiga tahap, (1) melakukan telaah pustaka metode varian Newton dan metode Halley (2) mengombinasikan metode varian Newton dan metode Halley, (3) mengimplementasikan algoritme tersebut menggunakan perangkat lunak. Kemudian dilakukan pengujian komputasi terhadap persamaan-persaman tak linier. Dalam penelitian ini dihasilkan sebuah modifikasi yaitu kombinasi metode Newton, midpoint, dan Halley (NMH) dapat digunakan untuk mencari solusi akar dari fungsi-fungsi tak linear berupa fungsi polinom, fungsi trigonometri, fungsi transenden, dan fungsi campuran. Berdasarkan hasil percobaan uji komputasi, metode NMH unggul jika dibandingkan dengan metode Newton, Newton midpoint secant, Halley dan Newton Halley. Dapat dilihat dari total iterasi yang lebih sedikit dan total running time yang lebih singkat. Simulasi pada penelitian ini menggunakan sembilan buah fungsi dengan pemilihan titik awal yang berbeda. Secara umum, jika titik awal cukup dekat dengan nilai akar yang sebenarnya, maka banyaknya iterasi yang dibutuhkan menjadi lebih sedikit dan besarnya running time yang diperlukan menjadi lebih kecil.