Pelabelan (k, d)-graceful pada 𝑇𝑃-tree dan Subdivisi dari 𝑇𝑃-tree

Abstract

This manuscript proved that every 𝑇𝑃 -tree and subdivision of 𝑇𝑃 -tree could be labeled by using (k, d)-graceful labeling for every positive integers k and d. (k, d)-graceful labeling on a graph is a graceful labeling with vertices could be labeled using integers, so that the set of vertices were mapped to {0, 1, 2, . . . , 𝑘 + (𝑞 − 1)𝑑} and the set of edges were mapped to {𝑘, 𝑘 + 𝑑, 𝑘 + 2𝑑, . . . , 𝑘 + (𝑞 − 1)𝑑}, with 𝑞 was size on graph. There are two theorems and one corollary to be considered. The first theorem proved that every 𝑇𝑃 -tree could be labeled by using (k, d)-graceful labeling. This theorem resulted a preposition that a (k, d)-graceful labeling is a (k, d)-balanced labeling. The second theorem proved that subdivision of 𝑇𝑃 -tree could be labeled with (k, d)- graceful labeling.

Karya ilmiah ini membuktikan bahwa setiap 𝑇𝑃 -tree dan subdivisi dari 𝑇𝑃 -tree dapat dilabeli dengan pelabelan (k, d)-graceful untuk setiap bilangan bulat positif k dan d. Pelabelan (k, d)- graceful pada suatu graf adalah pelabelan graceful yang simpulnya dapat dilabeli dengan bilangan bulat, sehingga himpunan simpulnya dipetakan ke 0, 1, 2, … , 𝑘 + 𝑞 − 1 𝑑 dan himpunan sisinya dipetakan ke {𝑘, 𝑘 + 𝑑, 𝑘 + 2𝑑, … , 𝑘 + 𝑞 − 1 𝑑}, dengan 𝑞 adalah banyaknya sisi pada suatu graf. Terdapat dua teorema dan satu akibat yang dibahas dalam karya ilmiah ini. Teorema pertama membuktikan bahwa setiap 𝑇𝑃 -tree dapat dilabeli dengan pelabelan (k, d)-graceful. Teorema ini mengakibatkan suatu pernyataan bahwa pelabelan (k, d)-graceful merupakan pelabelan (k, d)- balanced. Teorema kedua membuktikan bahwa subdivisi dari 𝑇𝑃 -tree dapat dilabeli dengan pelabelan (k, d)-graceful