Aspek Komputasi Penentuan Determinan Dan Invers Matriks Tridiagonal Toeplitz

Abstract

Matriks tridiagonal Toeplitz merupakan matriks khusus yang banyak digunakan dalam berbagai bidang, seperti biologi, ekonomi, kimia, dan matematika terapan. Matriks ini berperan penting dalam diskritisasi persamaan diferensial, analisis deret waktu, dan matematika diskrit. Penentuan determinan dan invers matriks memiliki aplikasi yang luas, diantaranya menghitung nilai jejak matriks, jumlah baris, serta batasannya, dan diaplikasikan dalam model autoregresif dengan noise. Penelitian ini menggunakan pendekatan deskriptif eksploratif terhadap artikel yang ditulis oleh Fitri Aryani dan Corazon. Fokus utamanya adalah menurunkan determinan matriks tridiagonal Toeplitz secara rekursif dan eksplisit, membangun teorema terkait invers matriks berbasis algoritma rekursif, serta mengkonstruksi algoritma yang mampu menghitung determinan dan invers secara efisien. Kebaruan penelitian ini terletak pada beberapa aspek penting. Salah satunya adalah modifikasi teorema terkait determinan eksplisit yang telah dirumuskan sebelumnya oleh Aryani. Selain itu, penelitian ini menghasilkan teorema baru untuk menghitung determinan secara rekursif, dan invers matriks tridiagonal Toeplitz yang berbasis pada algoritma rekursif. yang dirancang untuk meningkatkan efisiensi dalam proses komputasi. Penekanan pada pendekatan algoritma rekursif menjadi ciri khas dalam inovasi yang dihasilkan. Hasil penelitian ini mencakup tiga teorema utama, yaitu determinan matriks tridiagonal Toeplitz secara rekursif, determinan matriks tridiagonal Toeplitz secara eksplisit, dan invers matriks tridiagonal Toeplitz. Selain itu, penelitian ini juga menyusun algoritma untuk menghitung invers matriks tridiagonal Toeplitz berdasarkan teorema yang dikembangkan pada software Julia 1.10.4 dan menghitung waktu eksekusinya, serta membandingkan waktu eksekusi dengan algoritma invers bawaan Julia 1.10.4. Hasil pengujian menunjukkan bahwa algoritma teorema ini secara signifikan lebih cepat dibandingkan dengan algoritma bawaan Julia 1.10.4. Implementasi algoritma ini diharapkan mampu meningkatkan efisiensi kinerja komputasi dalam berbagai aplikasi yang memanfaatkan matriks tridiagonal Toeplitz. Untuk menganalisis algoritma yang dibentuk, digunakan metode interpolasi linier. Metode ini memanfaatkan hubungan linier antara ukuran matriks dan waktu eksekusi untuk menghasilkan perkiraan yang mendekati hasil aktual. Proses interpolasi dilakukan pada interval tertentu, sehingga menghasilkan estimasi yang lebih akurat dalam rentang data yang dianalisis.