Penyelesaian Generalisasi Persamaan Integral Abel Jenis Pertama dan Kedua

Abstract

Persamaan integral merupakan persamaan dengan fungsi yang tidak diketahui yang muncul pada integran. Persamaan integral sering dijumpai dalam permasalahan di bidang fisika, ekonomi, biologi, dan matematika terapan. Terdapat beberapa jenis persamaan integral, salah satunya yaitu persamaan integral Abel. Persamaan integral Abel terdiri dari dua jenis, yaitu jenis pertama dan jenis kedua. Setiap jenis memiliki generalisasi serta generalisasi lanjutannya. Tujuan dari penelitian ini yaitu menentukan penyelesaian generalisasi persamaan integral Abel jenis pertama dan kedua. Metode analitik yang digunakan yaitu transformasi Laplace, kalkulus fraksional, dan manipulasi persamaan. Ketika penyelesaian tidak dapat ditentukan dengan metode analitik, maka penyelesaian dari persamaan ditentukan dengan metode numerik. Metode numerik yang dipilih dalam penelitian ini yaitu successive approximations. Misalkan f adalah sembarang fungsi yang diketahui dan u adalah fungsi yang akan ditentukan, definisi persamaan integral Abel jenis pertama adalah f(x)=∫_0^x▒〖1/(x-t)^(1/2) u(t)dt,x≥0.〗 Generalisasi persamaan integral Abel jenis pertama didefinisikan f(x)=∫_0^x▒〖1/(x-t)^α u(t)dt,〗 sedangkan generalisasi lanjutan persamaan integral Abel jenis pertama didefinisikan f(x)=∫_0^x▒〖1/[g(x)-g(t)]^α u(t)dt〗, dengan g adalah fungsi monoton naik, terturunkan, g^' (t)≠0 untuk setiap t dalam interval (0,c), 0<α<1, dan x≥0. Hasil penelitian menunjukkan bahwa jika f adalah fungsi kontinu, penyelesaian generalisasi persamaan integral Abel jenis pertama dapat ditentukan dengan tiga metode analitik: metode transformasi Laplace, kalkulus fraksional, dan manipulasi persamaan, dengan penyelesaiannya adalah u(x)=sin⁡πα/π d/dx ∫_0^x▒〖1/(x-t)^(1-α) f(t) 〗 dt. Generalisasi lanjutan persamaan integral Abel jenis pertama dapat ditentukan menggunakan metode manipulasi persamaan, dengan penyelesaiannya adalah u(x)=sin⁡πα/π d/dx ∫_0^x▒(g^' (t) f(t))/〖[g(x)-g(t)]〗^(1-α) dt. Misalkan f adalah sembarang fungsi yang diketahui dan u adalah fungsi yang akan ditentukan, definisi persamaan integral Abel jenis kedua adalah u(x)=f(x)+∫_0^x▒〖1/(x-t)^(1/2) u(t)dt,x≥0.〗 Generalisasi persamaan integral Abel jenis kedua didefinisikan u(x)=f(x)+∫_0^x▒〖1/(x-t)^α u(t)dt,〗 dan generalisasi lanjutan persamaan integral Abel jenis kedua didefinisikan u(x)=f(x)+∫_0^x▒〖1/[g(x)-g(t)]^α u(t)dt,〗 dengan g adalah fungsi monoton naik, terturunkan, g^' (t)≠0 untuk setiap t dalam interval (0,c), 0<α<1, dan x≥0. Hasil penelitian menunjukkan bahwa jika f adalah fungsi kontinu, penyelesaian generalisasi persamaan integral Abel jenis kedua dapat ditentukan menggunakan metode transformasi Laplace, dengan penyelesaiannya adalah u(x)=L^(-1) {s^(1-α)/(s^(1-α)-Γ(1-α) ) F(s)}, dengan F(s)=L{f(x)}. Penyelesaian generalisasi lanjutan persamaan integral Abel jenis kedua tidak dapat ditentukan dengan metode analitik, sehingga ditentukan menggunakan metode numerik (successive approximations), dengan penyelesaiannya adalah u(x)=lim┬(n→∞)⁡〖u_(n+1) (x)〗.

An integral equation is an equation with an unknown function that appears on the integrant. Integral equations are often found in problems in physics, economics, biology, and applied mathematics. There are several integral equations, including the Abel’s integral equation. Abel's integral equations consist of two kinds, the first and the second. For each kind, there is a generalization and further generalization of the Abel’s integral equation. The purpose of this study is to determine the solution of the first and second kind of generalization of Abel’s integral equation. The analytical methods used are Laplace transform, fractional calculus, and equation manipulation. When an analytical approach cannot determine the solution, the solution is determined by a numerical method. The numerical method chosen in this study is successive approximations. If f is a known function and u is a function to be determined, the definition of the Abel’s integral equation of the first kind is f(x)=∫_0^x▒〖1/(x-t)^(1/2) u(t)dt,x≥0.〗 Generalization of Abel's integral equations of the first kind is f(x)=∫_0^x▒〖1/(x-t)^α u(t)dt,〗 while further generalization of Abel’s integral equations of the first kind is f(x)=∫_0^x▒〖1/[g(x)-g(t)]^α u(t)dt〗, where g is increasing function, differentiable, g^' (t)≠0 for every t in the interval (0,c),0<α<1, and x≥0. The results show that if f is a continuous function, the generalization of the first kind of Abel’s integral equation can be solved by three analytical methods: the Laplace transform method, equation manipulation method, and fractional calculus method, with the solution being u(x)=sin⁡πα/π d/dx ∫_0^x▒〖1/(x-t)^(1-α) f(t) 〗 dt. Further generalization of the first kind of Abel’s integral equation can be solved by equation manipulation method, with the solution being u(x)=sin⁡πα/π d/dx ∫_0^x▒(g^' (t) f(t))/〖[g(x)-g(t)]〗^(1-α) dt. If f is a known function and u is a function to be determined, the definition of the second kind of the Abel’s integral equation is u(x)=f(x)+∫_0^x▒〖1/(x-t)^(1/2) u(t)dt,x≥0.〗 Generalization of the second kind of Abel's integral equation is u(x)=f(x)+∫_0^x▒〖1/(x-t)^α u(t)dt,〗 and further generalization of the second kind of Abel’s integral equation is f(x)=∫_0^x▒〖1/[g(x)-g(t)]^α u(t)dt〗, where g is increasing function, differentiable, g^' (t)≠0 for every t in the interval (0,c),0<α<1, and x≥0. The results show that if f is a continuous function, the solution of generalization of the second kind of the Abel’s integral equation can be determined using the Laplace transform method, with the solution being u(x)=L^(-1) {s^(1-α)/(s^(1-α)-Γ(1-α) ) F(s)}, where F(s)=L{f(x)}. The solution of further generalization of the second kind of Abel’s integral equation cannot be determined by the analytical method, so it is determined using the numerical method (successive approximations), with the solution being u(x)=lim┬(n→∞)⁡〖u_(n+1) (x)〗.