Penduga kepekatan kernel bagi fungsi kepekatan peluang gamma

Abstract

Fungsi kepekatan peluang yang sebenarnya dari suatu peubah acak sulit atau bahkan tidak mungkin untuk diketahui. Oleh karena itu dibuat suatu penduga bagi fungsi kepekatan peluang sebagai pendekatan sebaran yang sebenarnya. Pendekatan parametrik sebagai salah satu penduga kepekatan peluang dirasa tidak cukup memadai mengingat banyak contoh nyata di mana sebaran parametrik tidak cocok. Oleh karena itu berkembang sejumlah teknik nonparametrik untuk menjawab permasalahan tersebut. Penduga kepekatan kernel sebagai salah satu penduga kepekatan nonparametrik merupakan generalisasi yang dilakukan Parzen (1962) dari penduga shifted histogram yang dikembangkan Rosenblatt (1956). Penduga kepekatan kernel bergantung pada lebar pita dan fungsi kernel yang digunakan, dan merupakan penduga konsisten. Studi ini membahas pendugaan kepekatan kernel bagi suatu data yang dibangkitkan dari fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) yang merupakan model sistem standby di mana komponen-komponennya memiliki waktu eksponensial untuk kepekatan kegagalan. Pendugaan dilakukan untuk ukuran contoh 25, 50, 75, dan 100 yang masing-masing diulang dua puluh lima kali. Fungsi kernel yang digunakan ialah kernel seragam, segitiga, Epanechnikov, dan Gauss. Kualitas dari pendugaan dilihat dari mean squared error (MSE) yang dihasilkan. Keempat nilai rata-rata MSE dari keempat fungsi kernel yang digunakan untuk setiap ukuran contoh tidak berbeda pada taraf nyata 5%. Semakin besar ukuran contoh yang digunakan, semakin kecil nilai rata-rata MSE yang dihasilkan dari keempat fungsi kernel tersebut. Grafik hasil dugaan memperlihatkan bahwa kernel segitiga, Epanechnikov, dan Gauss menghasilkan grafik yang halus. Sedangkan grafik dugaan dengan kernel seragam tidak halus. Dari keempat fungsi kernel yang digunakan, direkomendasikan untuk menggunakan fungsi kernel Epanechnikov atau segitiga dalam menduga data yang dibangkitkan dari sebaran Gamma(3,100). Sebagai pembanding penduga kepekatan kernel digunakan penduga kemungkinan maksimum yang merupakan penduga parametrik. Hasil dugaan bagi fungsi kepekatan peluang Gamma(3,100) dengan menggunakan kemungkinan maksimum cenderung lebih baik dibandingkan hasil dugaan dengan kepekatan kernel.