Eksistensi dan dekomposisi matriks pengganda dari sistem neraca sosial ekonomi

Abstract

Sistem Neraca Sosial Ekonomi (SNSE) merupakan alat analisis untuk mengamati aktivitas perekonomian di suatu wilayah yang mampu menunjukkan dengan baik dampak suatu kebijakan terhadap berbagai agen, terutama antara sektor produksi, institusi (termasuk rumah tangga), dan faktor produksi, yang terlibat dalam suatu perekonomian. Dari suatu SNSE dapat diturunkan suatu matriks pengganda Ma. Matriks pengganda merupakan bagian yang penting, karena dengan matriks tersebut dapat dilihat dampak yang terjadi akibat perubahan suatu sektor terhadap sektor lainnya. Hal yang juga penting adalah dekomposisi dari matriks pengganda tersebut. Dekomposisi ini dilakukan dengan maksud agar proses pengganda dalam kerangka SNSE terlihat dengan jelas. Dengan kata lain, dekomposisi dimaksudkan untuk mengungkapkan secara terperinci "jalannya" dampak sebuah injeksi terhadap kegiatan perekonomian. Dari dekomposisi matriks pengganda dapat diperoleh pengganda transfer, pengganda open loop, dan pengganda closed loop. Tulisan ini bermaksud memberikan landasan matematis untuk memperlihatkan eksistensi matriks pengganda dan menjelaskan dekomposisi matriks pengganda tersebut. Beberapa konsep dasar matematika digunakan untuk memperlihatkan eksistensi dan dekomposisi matriks pengganda, di antaranya adalah teorema mengenai matriks diagonal dominan. Dengan mempelajari sifat-sifat yang terdapat dalam matriks A (suatu matriks di mana elemen- elemennya menunjukkan besarnya kecenderungan pengeluaran rata-rata), maka matriks pengganda yang dituliskan dalam bentuk (IA)¹ selalu dijamin eksistensinya. Untuk itu cukup diperlihatkan bahwa matriks pengganda tersebut adalah matriks diagonal dominan (Teorema 5). Selanjutnya dengan konsep aljabar sederhana, matriks pengganda dapat didekomposisi menjadi bentuk Ma = M,M,M₁. Dekomposisi matriks pengganda selalu dapat dilakukan apabila kondisi dan syarat-syarat yang diperlukan dalam melakukan proses dekomposisi terpenuhi (Teorema 6).