Submodule tertutup dan karakteristik direct summand

Abstract

YESI RETNO NOVIYANTI. Submodule Tertutup dan Karakteristik Direct Summand. Dibimbing oleh NUR ALIATININGTYAS dan SUGI GURITMAN. Module merupakan abstraksi dari ruang vektor, karena aksioma-aksioma yang didefinisikan pada module dan ruang vektor adalah sama. Perbedaan diantara keduanya terletak pada skalar-skalarnya. Yaitu, skalar-skalar dari module adalah unsur-unsur dari ring R yang selanjutnya disebut module atas ring R (R-module) sedangkan skalar-skalar dari ruang vektor adalah unsur-unsur dari lapangan F yang disebut ruang vektor atas lapangan F. Dari uraian di atas, maka definisi dari R-module adalah: Diberikan R ring komutatif dengan unsur identitas 1 dan M adalah grup additive yang bersifat komutatif. Diberikan suatu fungsi dari Rx M→ M dengan bayangan (a, x) e Rx M dinotasikan oleh axe M. M disebut R-module jika dan hanya jika sifat berikut terpenuhi : (1) (α + B)x = xx + Bx, (2) α(x + y) = xxx + xy, (3) (aẞ)x = α(Bx), (4) lx = x, untuk setiap aẞER dan x,ye M. Unsur-unsur pada R disebut skalar. Dari suatu R-module dapat dihasilkan submodule tertutup beserta sifat-sifatnya. Yaitu, jika diberikan R daerah integral, M suatu R-module dan X submodule dari M maka X dikatakan tertutup di M jika dan hanya jika CIX-X dengan CLX= {ve M 3αe R\{0} sehingga av e X}. Dari suatu R-module dapat dihasilkan juga submodule yang merupakan direct summand. Submodule X dari R-module M merupakan direct summand jika terdapat submodule Y dari R-module M sehingga M=XY. Untuk mengetahui suatu submodule dari R-module merupakan direct summand atau bukan dapat juga digunakan sifat-sifat yang dihasilkan oleh submodule tertutup. Jika diberikan R-module bebas (R-module yang mempunyai basis) dengan R adalah daerah ideal utama (R daerah integral dan setiap ideal dari R dibangkitkan oleh satu unsur ) maka syarat perlu dan cukup bagi suatu submodule merupakan direct summand adalah submodule tersebut tertutup dan dibangkitkan secara berhingga.