Kuadrat di Z/mZ

Abstract

Misal a, me Z, (a, m) = 1, m> 3. Masalah menentukan apakah kongruensi x² = a(mod m) terselesai- kan (memiliki solusi) atau tidak adalah masalah masalah klasik yang cukup terkenal dalam teori bilangan. Masalah ini dapat diselesaikan dengan apa yang disebut hukum kebalikan kuadrat (quadratic reciproci- ty law) yang mengatakan bahwa kongruensi x²= p(mod q) dan x²= q(mod p) keduanya terselesaikan atau keduanya tidak terselesaikan jika dan hanya jika satu dari p atau q kongruen 1 modulo 4. Inti utama dari tulisn ini adalah membuktikan hukum kebalikan kuadrat (HKK) dan menggunakannya untuk menentukan keterselesaian dari kongruensi x2 = a(mod m). Hingga saat ini telah diketahui 193 bukti yang berbeda untuk HKK dan sebahagian besar dari bukti-bukti itu menggunakan apa yang disebut dengan Lemma Gauss. Dalam tulisan, HKK juga dibuktikan dengan menggunakan Lemma Gauss; per- bedaannya terletak pada metode-metode yang digunakan untuk membuktikan Lemma Gauss itu sendiri.