Kestabilan Titik Tetap pada Model Penyebaran Penyakit untuk Mangsa dan Pemangsa dengan Fungsi Respon

Abstract

Dalam populasi, suatu individu membentuk suatu kelompok pada waktu tertentu. Antara makhluk hidup dan lingkungannya saling berinteraksi satu sama lain dalam suatu sistem yang kompleks. Sistem yang terbentuk akibat interaksi makhluk hidup dengan lingkungnya disebut ekosistem. Dalam proses interaksi di dalam ekosistem sering terjadi pemangsaan, pemangsaan oleh pemangsa dapat mengakibatkan adanya perubahan jumlah individu dalam suatu populasi. Pemangsaan merupakan hubungan antara pemangsa dengan mangsa di dalam interaksi dua populasi. Dinamika populasi juga dapat dilihat dengan adanya penambahan atau pengurangan jumlah populasi dari waktu ke waktu yang diakibatkan oleh interaksi antara individu ataupun dengan lingkungan. Penyakit, bencana alam, dan persediaan makanan juga dapat mempengaruhi sistem dinamik dari populasi. Tujuan dari penelitian ini adalah memodifikasi model penyebaran penyakit menular pada populasi mangsa-pemangsa dan pemberian waktu tunda. Model yang telah dimodifikasi ditentukan titik tetap, kemudian dilakukan analisis kestabilan dan simulasi numerik untuk melihat dinamika sistemnya. Terdapat enam variabel yang dipertimbangkan dalam model ini, yaitu populasi mangsa, populasi mangsa terinfeksi, populasi pemangsa, dan populasi pemangsa terinfeksi. Pada penelitian ini diperoleh enam titik tetap. Selanjutnya analisis dilakukan terhadap masing-masing titik tetap, melalui nilai eigen dan kriteria Routh Hurwitz. Hasil menunjukkan bahwa dari enam titik tetap yang diperoleh satu bersifat stabil. Simulasi numerik yang dilakukan untuk menggambarkan hubungan antar variabel, dalam penelitian ini simulasi dibagi menjadi tiga kasus, yaitu saat nilai τ=0,τ<τ_0, dan τ>τ_0, dengan τ_0 waktu tunda kritis. Pada saat nilai τ=0, populasi mangsa dan populasi pemangsa mengalami penururan dan peningkatan kemudian mengalami kestabilan sedangkan populasi populasi mangsa terinfeksi dan populasi pemangsa terinfeksi mengalami penurunan dan setelah itu mengalami kestabilan. Pada saat nilai τ<τ_0, populasi mangsa mengalami penurunan berosilasi namun semakin lama simpangannya semakin kecil yang menyebabkan populasi mangsa bersifat stabil. Untuk populasi mangsa terinfeksi, populasi pemangsa, dan populasi pemangsa terinfeksi juga stabil. Pada saat nilai τ>τ_0, populasi mangsa dan populasi pemangsa mengalami osilasi terus menerus, sedangkan pada populasi mangsa terinfeksi dan pemangsa terinfeksi terjadi osilasi yang kemudian semakin lama simpangannya semakin kecil dan menuju stabil.

In a population, an individual forms a group at a certain time. Between living things and their environment interact with each other in a complex system. The system formed as a result of the interaction of living things is called an ecosystem. In the process of interaction in ecosystems where predation often occurs, predation by predators can result in changes in the number of individuals in a population. Predation is a relation between predator and prey in the interaction of two populations. Population dynamics can also be seen by increasing or decreasing the number over time caused by interactions between individuals or with the environment. Diseases, natural disasters, and food supplies can also affect the system dynamics of a population. The purpose of this study is to modify the model of the spread of infectious diseases in prey-predator populations and to provide a time delay. The modified model is determined by a fixed point, then stability analysis and numerical simulation are carried out to see the dynamics of the system. There are six variables considered in this model, namely prey population, infected prey population, predator population, and infected predator population. In this study, six fixed points were obtained. Furthermore, the analysis is carried out on each fixed point, through the eigenvalues and the Routh Hurwitz criteria. The results show that one of the six fixed points obtained is stable. Numerical simulations were conducted to describe the relation between variables, in this study the simulation was divided into three cases, namely when the value of τ=0,τ<τ_0, and τ>τ_0, with τ_0 is critical delay time. When the value τ=0, the prey population and the predator population experienced a decrease and an increase then stabilized, while the infected prey population and infected predator population decreased and after that they are stable. When the value τ<τ_0, the prey population decreases oscillating but the longer the deviation gets smaller which causes the prey population to be stable. For the infected prey population, the predator population, and the infected predator population also stable. When the value τ>τ_0, the prey population and the predator population are continuous oscillations, while in the infected prey population and infected predators oscillations occur which then the longer the deviation gets smaller and becomes stable.