Determinan dan Invers Matriks Skew Circulant dengan Entri Barisan Aritmatika

Abstract

Matriks skew circulant adalah matriks persegi yang setiap entri dari baris sebelumnya bergeser satu kolom ke kanan pada baris berikutnya secara berurutan diikuti dengan perubahan tanda pada semua entri dibawah diagonal utama, sehingga untuk mengetahui entri matriks skew circulant dapat dilihat dari satu baris matriks tersebut. Entri-entri pada matriks skew circulant dapat diisi dengan berbagai entri yang membentuk barisan bilangan, salah satunya yaitu barisan aritmatika. Salah satu sifat yang dimiliki matriks skew circulant, adalah bahwa inversnya juga bersifat skew circulant. Pada karya ilmiah ini diformulasikan secara eksplisit determinan dan invers suatu matriks A yang skew circulant dengan entri baris pertama barisan aritmetika. Pembuktian formulasi det (A) dan A^(-1) diperoleh dari penerapan serangkaian operasi baris dasar dan operasi kolom dasar yang mengikuti struktur entri A sehingga A ekuivalen dengan matriks diagonal D yang entrinya juga berstruktur istimewa. Dalam hal ini, det (A) dirumuskan sebagai hasil kali semua unsur diagonal D; sedangkan A^(-1) = QD^(-1)P dengan P dan Q secara terurut merupakan matriks representasi sebagai hasil dari serangkaian operasi baris dan kolom dasar tersebut diatas.

A Skew circulant matrix is a square matrix where each entry from the previous row shifts one column to the right in the next row sequentially followed by a change in sign to all the elements below the main diagonal, to find out the entries of the skew circulant can be seen from any row of the matrix. The entry of the skew circulant matrix can be filled in various types of a sequence of numbers, one of which is an arithmetic sequence. One of the properties of a skew circulant matrix is the inverse also in the form of a skew circulant. In this research, the determinant and the inverse of a skew circulant matrix A with the first row of an arithmetic sequence are formulated explicitly. The proof of the formulation of det (A) and A^(-1) are obtained by applying a series of elementary row operations and elementary column operations based on the structure of entry of A so that A is equivalent to a diagonal matrix D that also having special structure of the entry. In this case, det(A) is formulated as the product of all the diagonal elements of D; while A^(-1) = QD^(-1)P where P and Q are representation matrices as the result of the series of elementary row and column operation.