Model Campuran Poisson Majemuk Dengan Pengaruh Acak Waktu Mengikuti Proses Autoregresif Orde Pertama

Abstract

Sebaran Poisson majemuk yang didefinisikan sebagai Y=∑_(i=1)^N▒C_i dibangun oleh dua sebaran yaitu sebaran N~ Poisson(μ_N) dan sebaran C_i~iid Gamma(μ_C,α). Sebaran Poisson majemuk merupakan anggota sebaran keluarga eksponensial dengan Var(μ)=μ^pdengan 1<p<2. Dari definisi tersebut secara implisit diartikan jika N=0 maka Y=0. Untuk N>0 peubah respon Y adalah jumlah sebanyak N dari peubah acak yang menyebar Gamma yang saling bebas dan identik. Akibatnya sebaran Poisson majemuk ini cocok digunakan untuk memodelkan data kontinu dengan kejadian nol yang sering. Pemodelan dengan sebaran Poisson majemuk kebanyakan dilakukan berbasis model linier terampat (MLT). MLT dapat diperluas menjadi model campuran linier terampat (MCLT) jika terdapat pengaruh tetap dan pengaruh acak. Secara umum, pendugaan parameter dalam MCLT dilakukan secara numerik di antaranya dilakukan dengan metode hierarchical likelihood. Definisi Y=∑_(i=1)^N▒C_i menjelaskan peubah acak Y yang menyebar Poisson majemuk dibangun oleh 2 peubah acak, yaitu N yang menyebar Poisson dan C_i yang menyebar Gamma. Pendekatan pertama untuk memodelkan data yang menyebar Poisson majemuk ini adalah adanya asumsi kebebasan antara sebaran pertama dan sebaran kedua. Akibatnya, hal pertama yang dilakukan adalah memodelkan secara terpisah masing-masing sebaran yang membangun Y, kemudian perkalian hasilnya yang akan menjadi penduga dari Y. Pendekatan ini dinamakan pendekatan Poisson-Gamma terpisah. Pendekatan yang kedua adalah dengan memodelkan Y secara langsung tanpa memodelkan N dan C_i sebelumnya. Pendekatan yang dilakukan adalah dengan menganggap Y menyebar Tweedie. Pendekatan ini dinamakan pendekatan Poisson majemuk Tweedie. Dalam penelitian ini dikaji pengembangan model dengan peubah respon menyebar Poisson majemuk dengan dua pengaruh acak yaitu wilayah dan waktu yang diasumsikan mengikuti proses autoregresif orde pertama. Pendugaan parameter model dilakukan dengan dua pendekatan, pendekatan Poisson-Gamma terpisah dan pendekatan Poisson majemuk Tweedie. Pemodelan dilakukan berbasis MCLT dengan metode pendugaan parameter yang digunakan adalah metode hierarchical likelihood. Hasil simulasi pendekatan Poisson-Gamma terpisah diperoleh: (1) Untuk model campuran Poisson dengan pengaruh acak waktu mengikuti proses autoregresif orde pertama, pada koefisien autoregresif yang sama, jika ragam wilayah semakin besar maka bias relatif yang dihasilkan semakin kecil. Secara umum, semakin besar koefisien autoregresif, nilai bias relatif semakin kecil. (2) Untuk model campuran Gamma dengan pengaruh acak waktu mengikuti proses autoregresif orde pertama, untuk koefisien autoregresif yang sama, semakin besar ragam wilayah bias relatif yang dihasilkan semakin kecil. Kemudian, semakin besar koefisien autoregresif dihasilkan bias relatif yang semakin kecil. Mean squared error (MSE) kedua model yang sangat kecil mengindikasikan bahwa data sudah digambarkan model dengan baik. Selanjutnya, dari hasil simulasi untuk pendekatan Poisson majemuk Tweedie, menunjukkan semakin besar koefisien autoregresif, maka bias relatif yang dihasilkan semakin kecil dan semakin besar ragam wilayah maka cenderung semakin tak bias penduga yang dihasilkan. Dengan kata lain, koefisien autoregresif dan ragam wilayah berpengaruh terhadap ketakbiasan penduga. Berdasarkan nilai MSE yang mendekati nol mengindikasikan bahwa data juga digambarkan model dengan baik. Aplikasi pada data empiris dilakukan dengan memodelkan total besar klaim dalam suatu wilayah dan waktu tertentu berdasarkan laporan profil risiko dan kerugian asuransi kendaraan bermotor suatu perusahaan asuransi umum di Indonesia tahun 2014. Peubah kovariat yang menjadi pengaruh tetap adalah besar deductible, sedangkan pengaruh acak adalah wilayah dan waktu yang diasumsikan mengikuti proses autoregresif orde pertama. Total besar klaim sebagai peubah respon diasumsikan menyebar Poisson majemuk. Selanjutnya pemodelan dilakukan dengan dua pendekatan, yaitu pendekatan Poisson-Gamma terpisah dan pendekatan Poisson majemuk Tweedie. Pada hasil kajian aplikasi data empiris diperoleh bahwa model total besar klaim dengan pendekatan Poisson majemuk Tweedie lebih baik jika dibandingkan dengan pendekatan Poisson-Gamma terpisah. Hal ini terlihat dari nilai rata-rata galat relatif dan koefisien keragaman pendekatan Poisson majemuk Tweedie yang lebih kecil jika dibandingkan dengan pendekatan Poisson-Gamma terpisah. Selain itu, pendekatan Poisson majemuk Tweedie mampu menduga total besar klaim di wilayah dan waktu tertentu di mana tidak ada kejadian klaim.